宗樹舎News: 微積分における時短テクニック！面積公式を使いこなす

2025年8月29日金曜日

微積分における時短テクニック！面積公式を使いこなす

共通テストの数学II・Bで、微積分の問題に時間を取られすぎて困った経験はありませんか？特に面積を求める問題は、真面目に積分計算をすると多くの時間を費やしてしまいがちです。しかし、特定のパターンでは「面積の公式」を使うことで、計算時間を大幅に短縮できます。

なぜ面積の公式を使いこなすべきなのか

学校の定期テストでは、「公式を証明してから使いなさい」と指示されることがあり、積分計算を繰り返すうちに、公式の存在を忘れ、計算が習慣化してしまうことがあります。しかし、入試本番では、いかに早く正確に答えを出すか」が勝負です。限られた時間の中で、積分計算に時間をかけすぎると、他の問題に手が回らなくなってしまいます。

面積の公式は、そのような状況を打破するための強力な武器となります。公式を活用することで、計算ミスを減らし、解答時間を短縮し、他の難しい問題にじっくり取り組む余裕が生まれます。

必ず覚えたい！2つの面積公式

共通テストで頻出する、放物線と直線で囲まれた部分の面積を求めるための公式は、以下の2つです。

1. 放物線と直線の囲む面積

放物線 $y = a x^^{2} + b x + c$ と直線 $y = m x + n$ の交点の $x$ 座標を $α, β$ ( $α < β$ ) とすると、囲まれた面積 $S$ は次の式で求められます。

$S = ∣ a ∣ (β - α)^^{3/6}$

この公式を使うことで、積分計算を丸ごとスキップできます。

使用手順:

放物線と直線の式を連立させて、交点の $x$ 座標 $α$ と $β$ を求める。
放物線の $x^^{2}$ の係数 $a$ を確認する。
公式に $α, β, a$ を代入して計算する。

2. 2つの放物線の囲む面積

2つの放物線 $y = a x^^{2} + b x + c$ と $y = a^{'} x^^{2} + b^{'} x + c^{'}$ の交点の $x$ 座標を $α, β$ ( $α < β$ ) とすると、囲まれた面積 $S$ は次の式で求められます。

$S = ∣ a - a ^{'} ∣ (β - α)^^{3/6}$

この公式は、放物線が2つある場合でも、同様に簡単に面積を求めることができます。

使用手順:

2つの放物線の式を連立させて、交点の $x$ 座標 $α$ と $β$ を求める。
それぞれの放物線の $x^{2}$ の係数 $a$ と $a^{'}$ の差 $∣ a - a^{'} ∣$ を確認する。
公式に $α, β, ∣ a - a^{'} ∣$ を代入して計算する。

公式を使いこなすための学習法

公式を暗記するだけでは不十分です。実践的な力を身につけるために、以下の学習法を試してみましょう。

演習の多角化: 過去問や市販の共通テスト対策問題集を使って、公式が使える問題に数多く触れる。
二刀流で解く: 一つの問題を「積分計算」と「公式」の両方で解いてみる。これにより、公式の有効性を実感すると同時に、計算力も維持できます。
解法の判断: 問題を見た瞬間に、「これは公式が使えるパターンだ！」と判断できる力を養う。

積分計算が習慣になっていることは、基礎力がしっかりしている証拠です。その上で面積公式という強力な武器を使いこなせれば、数学の得点力は大きく向上するでしょう。頑張ってください！応援しています！🎉

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